Если коротко, то вы, подписав заявку и обязавшись перевезти 60 кубов 6 тонн груза обязались перевезти именно столько. Если на погрузке водитель увидел, что в машину грузят меньше, он должен был сообщить об этом перевозчику, а тот, в свою очередь, обратиться к тому, с кем подписан договор и заключить новый договор.
Этого не было сделано. К сожалению, теперь вам прямая дорога или к познанию христианского всепрощения, или же к юристу, который МОЖЕТ БЫТЬ что-то выжмет из товарной накладной и добудет недостающие доказательства.